Bóg się rodzi, moc truchleje,

Pan niebiosów obnażony!

Ogień krzepnie, blask ciemnieje,

Ma granice Nieskończony.

Ojcze nieskończenie dobry” – to wezwanie wypowiada kapłan na początku pierwszej modlitwy eucharystycznej, czyli Kanonu rzymskiego. W modlitwach odwołujemy się także do nieskończonego miłosierdzia Boga, do Jego mądrości i wszechmocy. W naszym pojmowaniu Boga pojęcie „nieskończoność” jest niezastąpione. Czy będzie ono potrzebne również w opisie realnego świata, który On stworzył?

Do gwiazd i dalej

Wydaje się, że w świecie wokół nas wszystko ma skończoną wartość. Nawet największe biblioteki posiadają ograniczoną liczbę tomów, a najbogatsi ludzie – skończoną ilość pieniędzy. Do gwiazd mamy daleko, ale jest to odległość, którą można zmierzyć. W naszym codziennym życiu nieskończoność nie występuje. Pojawia się dopiero wtedy, gdy patrzymy w niebo. Wówczas zaczynamy pytać o wielkość wszechświata i zastanawiać się, czy jest on nieskończony.

Od ponad 100 lat potrafimy patrzeć bardzo daleko. Amerykański astronom Edwin Hubble w 1929 r., obserwując promieniowanie świetlne docierające z odległych galaktyk, stwierdził, że wszechświat nie jest statyczny, lecz się rozszerza. Oznacza to, że wszechświat jest ograniczony, gdyż nieskończony nie mógłby się już powiększać. Stało się to też podstawą teorii Wielkiego Wybuchu, rozwiniętej przez belgijskiego księdza i astronoma Georgesa Lemaître’a, który już wcześniej przewidział matematycznie takie zjawisko. A kiedy w 1965 r. amerykańscy radioastronomowie Arno Penzias i Robert Wilson przypadkowo odkryli mikrofalowe promieniowanie tła, tj. słaby sygnał dochodzący z każdej strony nieba – zinterpretowano je jako pozostałość po Wielkim Wybuchu, co bardzo mocno potwierdziło teorię Lemaître’a. Przez niemal sześć dekad wszystko wydawało się logicznie poukładane, aż w 2022 r. najnowszy teleskop Jamesa Webba, działający w przestrzeni kosmicznej, przesłał obrazy odległych galaktyk. Astronomowie doszli do wniosku, że posiadane przez nie cechy są tak zaskakujące, iż zmuszają do ponownego przemyślenia modelu budowy i ewolucji wszechświata.

Można się pokusić o refleksję, że nasze sukcesy w poznawaniu jego architektury i procesu tworzenia przez Boga znacząco ustępują osiągnięciom w „czynieniu sobie ziemi poddaną”. Ale czyż nie jest to zgodne z Jego wolą przekazaną naszym pierwszym rodzicom?

W ludzkim umyśle

Dziecko pyta: „tato, jaka jest największa liczba?”. Nie ma takiej liczby – odpowiada ojciec. Każdą można powiększyć o jeden, a tę nową znów o jeden, i tak bez końca. Liczb jest nieskończenie wiele.

Nieskończoność od zawsze fascynowała człowieka, lecz prawdziwy przełom w jej rozumieniu nastąpił dzięki niemieckiemu matematykowi Georgowi Cantorowi, twórcy teorii mnogości, zwanej też teorią zbiorów. Jest to jedna z najnowszych wielkich teorii matematycznych, powstała na przełomie XIX i XX wieku i ciągle jest żywą i rozwijającą się dziedziną królowej nauk. Można powiedzieć, że historia „nieskończoności” w matematyce dzieli się na dwa etapy – przed Cantorem i po Cantorze. Usystematyzował on podstawowe pojęcia i definicje z nią związane.

Jednym z nich jest znane nam z lat szkolnych pojęcie zbioru. Nie ma ono formalnej definicji i pozostajemy przy jego intuicyjnym rozumieniu. Cantor wprowadził pojęcie mocy zbioru równej liczbie jego elementów i wielkość tę nazwał „liczbą kardynalną”. Na przykład moc zbioru liczb naturalnych mniejszych od 10 wynosi 10, gdyż w matematyce współczesnej, szczególnie w teorii mnogości, 0 jest liczbą naturalną – mówimy, że liczba kardynalna tego zbioru wynosi 10. Nasuwa się pytanie: jaka będzie moc zbioru liczb naturalnych, skoro jest ich nieskończenie wiele? Do oznaczenia jego mocy Cantor użył pierwszej litery alfabetu hebrajskiego ?0 (alef ze znaczkiem 0), rozszerzając jednocześnie pojęcie „liczby kardynalnej” na zbiory o nieskończonej ilości elementów. Zbiory o tej samej mocy co liczby naturalne zostały nazwane „zbiorami przeliczalnymi” – w praktyce oznacza to, że ich elementy możemy ponumerować i policzyć.

Czy możemy ponumerować i policzyć wszystkie ułamki? Nasze intuicyjne odczucie mówi nam, że nie, ponieważ mają niezależne od siebie licznik i mianownik, nie mówiąc już o ułamkach dziesiętnych. Zbudujmy zatem tabelę, w której na osi poziomej zwiększamy o 1 mianownik ułamka, a na osi pionowej jego licznik, zaczynając od lewego górnego rogu, gdzie mamy 1/1 (patrz rysunek).

Teraz, poruszając się z tego miejsca zgodnie ze strzałkami, nadajemy kolejne numery elementom tego zbioru, tj. wszystkim ułamkom. Wniosek jest taki, że zbiór liczb wymiernych ma tę samą moc, co zbiór liczb naturalnych, dlatego oznaczamy go symbolem ?0.

Cantor zakwalifikował natomiast liczby rzeczywiste – czyli te, których nie można zapisać w postaci ułamka, ale które mają swoje miejsce na osi liczbowej, jak np. ?2, ?3 czy liczba ? – do zbioru o większej mocy nieskończoności. Przypuszczał ponadto, że zbiór liczb rzeczywistych reprezentuje następną po ?0 – ?1 wielkość nieskończoności. Sformułował to w swojej słynnej „hipotezie continuum”. Mówi ona, że zbiór liczb rzeczywistych to „najmniejsza możliwa nieskończoność”, której już nie da się policzyć. Wiele lat po śmierci Cantora udowodniono, że problem ten jest nierozstrzygalny na gruncie stworzonej przez niego tzw. standardowej teorii mnogości.

Paradoksy

Zbiory – także te o nieskończonej liczbie elementów – można ze sobą łączyć, porównywać i wykonywać na nich różne operacje, takie jak suma czy różnica. Elementem zbioru może być również inny zbiór. W ten sposób powstają coraz wyższe poziomy złożoności, a nawet różne „wielkości nieskończoności” oznaczane odpowiednio: ?2, ?3, ?4 itd. To znaczy, że nieskończoności jest nieskończenie wiele.

Pojawia się jednak pytanie: czy można utworzyć zbiór, który zawierałby wszystkie inne zbiory? Okazuje się, że nie – w ramach współczesnej teorii mnogości taki „zbiór wszystkich zbiorów” prowadziłby do sprzeczności. Musiałby on być jednocześnie wewnątrz i na zewnątrz siebie. Powstaje błędne koło, logiczna sprzeczność znana jako paradoks Bertranda Russella. Nie jest to jedyny paradoks w obszarze zainteresowania teorii mnogości. Polskojęzyczna Wikipedia podaje ich jedenaście, a nie są to wszystkie. Można powiedzieć, że teoria mnogości zawiera wiele paradoksów. Jej twórca – Georg Cantor po latach zmagań z pojęciem nieskończoności i paradoksami jej towarzyszącymi był dotknięty przewlekłymi epizodami depresji. Równolegle pogłębiał refleksję mistyczno-teologiczną i rozwijał koncepcję „Absolutnej Nieskończoności”, którą utożsamiał z Bogiem. Zmarł 6 stycznia 1918 r. w sanatorium w Halle na atak serca.

Powróćmy teraz do słów naszej kolędy.

Wzgardzony, okryty chwałą,

Śmiertelny Król nad wiekami!

A Słowo Ciałem się stało

I mieszkało między nami.

Ileż tu paradoksów. Moc truchleje, blask ciemnieje, śmiertelny Król nad wiekami, Bóg Człowiek – Nieskończony.

Czy gdyby Georg Cantor znał te słowa, byłby szczęśliwszy? Może brakowało mu właśnie tego wymiaru nieskończoności, jaki daje obraz Bożego Dzieciątka w betlejemskim żłobie, i świadomości, że czego umysłem nie ogarniemy, musimy pojąć wiarą.